La banda de Möbius: la superficie de una sola cara que desafía la intuición

Una tira de papel, un poco de pegamento y media vuelta bastan para empezar. Si se unen los extremos sin girar, queda un anillo corriente, con dos caras y dos bordes. Si antes de pegar se gira uno de los extremos media vuelta, el resultado es una banda de Möbius. Así lo plantea Carlos del Porto Blanco en su columna para Radio Reloj, que invita a comprobar con un lápiz lo que la intuición no anticipa: una línea trazada por el centro, sin levantar la mano, recorre toda la superficie y regresa al punto de partida.

La banda es, en términos matemáticos, una superficie no orientable con una sola cara y un solo borde. Localmente cada trozo parece un plano común, pero la estructura global es distinta, y de ahí la lección que subraya el autor: lo local no determina lo global. Es objeto de estudio de la topología, la rama que se ocupa de las propiedades que no cambian al deformar una figura sin romperla ni pegarla. Para esa disciplina, una taza y una rosquilla son lo mismo, porque ambas tienen un agujero.

Los cortes producen sorpresas. Si se corta por la línea central, no salen dos anillos sino uno más largo, con dos medias vueltas. Si el corte se hace paralelo al borde, a un tercio del ancho, resultan dos anillos entrelazados: una banda de Möbius más delgada y otra más larga con dos medias vueltas. Cortar a una distancia fija del borde distinta de la mitad separa la banda en dos cintas, una de la longitud original y otra del doble. Además, el borde mide el doble que la línea central en la construcción habitual.

La historia del objeto tiene un giro propio. En 1858, el matemático y astrónomo alemán August Ferdinand Möbius trabajaba en una teoría geométrica de los poliedros, un problema sobre el que la Academia de París había llamado la atención con un premio. Venía de la fórmula del siglo XVIII de Leonhard Euler: vértices menos bordes más caras es igual a 2, como en el cubo, con 8 vértices, 12 bordes y 6 caras. Pero no sirve para todos los sólidos: un poliedro en forma de rosquilla cuadrada, con 16 vértices, 32 bordes y 16 caras, da 0. Los cuadernos de Möbius muestran que desarrolló el concepto en septiembre de 1858, y lo publicó en 1865 en un artículo sobre el volumen de un poliedro, donde también demostró que hay poliedros a los que no se puede asignar volumen.

Sin embargo, Möbius no fue el primero. Johann Benedict Listing, también alemán y trabajando por su cuenta, encontró la superficie en julio de 1858 y la publicó en 1861, en un artículo sobre generalizaciones de la fórmula de Euler. El texto admite que no está claro cómo acabó imponiéndose el nombre de Möbius. Y hay un antecedente visual: un mosaico romano del siglo III hallado en Sentinum, en la actual Italia, muestra al dios Aion dentro de una banda circular de este tipo.

La primera aplicación citada fuera de las matemáticas fue la magia. Martin Gardner la ubica en la edición inglesa ampliada de 1882 de Les Recreations Scientifiques, de Gaston Tissandier, publicada por primera vez en París en 1881. En el truco, el mago entrega tres bandas y pide cortarlas a lo largo: la primera, sin giro, da dos anillos separados; la segunda, una de Möbius, da un solo anillo del doble de largo; la tercera, con una vuelta completa de 360 grados, da dos anillos entrelazados. Hoy se le llama «bandas afganas», nombre que se remonta a 1904 y cuyo origen, dice Gardner, sigue siendo un misterio.

Entre las propiedades que la columna enumera figura que una banda de Möbius puede dividirse en seis regiones mutuamente adyacentes. Un mapa sobre ella puede requerir seis colores, frente a los cuatro que bastan en el plano, y seis son siempre suficientes, según el teorema de Ringel-Youngs. El autor aclara además que la única cara es propiedad de su inmersión en el espacio tridimensional, no de la banda como espacio topológico. La banda aparece también en la ciencia, la ingeniería, la literatura, la música, el arte y el símbolo del reciclaje.